Triunghiul = poligon cu 3 laturi.                 

                           

                                                                                                                                                       

        

       

                Notam laturile triunghiului: 

 

                  Perimetrul :          

                  Aria:                                          – inaltimea

         Formula lui Heron:                     -semiperimetrul

 

                                   

         

                  Raza cerc inscris :          raza cerc circumscris triunghi :  

 

Triunghi echilateral:             Aria          Inaltimea                                 Perimetrul     

Triunghi dreptunghic:           Aria          Inaltimea             -catete

 

Clasificare:                 -   oarecare ( masura laturilor si unghiurilor diferite) fig 1

                                     -   isoscel (doua laturi egale) fig2

                                     -   echilateral ( toate laturile congruente; unghiuri de 600) fig 3

                                     -   ascutit unghic (unghiurile <900) fig 4

                                     -   dreptunghic ( un unghi de 900) fig 5

                                     -   obtuzunghic (un unghi >900) fig 6  

Linii importante in triunghi:

                   - mediana (fig 7) = segmentul ce uneste varful triunghiului cu mijlocul laturii opuse. Ea imparte un triunghi in 2 triunghiuri

echivalente. Punctul de intersectie al medianelor se afla la doua treimi de varf si o treime de baza= centrul

de greutate al triunghiului ( notat cu G).

- bisectoarea (fig 8) = segmentul care imparte unghiul in doua parti egale , orice punct de pe bisectoare este egal departat

de laturile triunghiului.Punctul de intersectie al bisectoarelor triunghiului =centrul cercului inscris in    

triunghi ( notat cu I ).

- mediatoarea (fig 9) = dreapta perpendiculara dusa prin mijlocul laturii unui triunghi.Punctul de intersectie al mediatoarelor

         centrul cercului circumscris  triunghiului - punct egal departat de varfurile triunghiului.

- inaltimea (fig 10) = perpendiculara dusa printr-un virf al triunghiului pe latura opusa.Punctul de intersectie al inaltimilor

                            triunghiului = ortocentrul triunghiului.        

- linia mijlocie = segmentul care uneste mijloacele a doua laturi ale triunghiului,ea este paralela cu a treia .

 

                 

Teoreme in triunghi :

Teorema lui Pitagora generalizată, numită şi ” Legea cosinusurilor, este valabilă în orice triunghi şi poate fi exprimată astfel:

 

                   unghiul dintre laturile a si b

 

        

                                                 Fig.1                                    Fig.2

     -cand latura  se opune unui unghi ascutit(fig 1)

     -cand latura  se opune unui unghi obtuz (fig 2).

 

Teorema lui Pitagora (intr-un triunghi dreptunghic)  = in orice triunghi dreptunghic, suma patratelor catetelor este egala cu

patratul ipotenuzei.

 

        unde = catete;   = ipotenuza

 

Reciproca teoremei lui Pitagora = daca intr-un triunghi suma patratelor lungimilor a doua laturi este egala cu patratul lungimii celei

de a treia ,atunci triunghiul este dreptunghic.

 

Teorema lui Thales = o paralela dusa la una din laturile unui triunghi imparte celelalte laturi in parti proportionale.

 

Teorema fundamentala a asemanarii = o paralela dusa la una din laturile unui triunghi ,formeaza cu celelalte doua laturi (sau cu

prelungirile lor) un triunghi  asemenea cu cel dat.

 

Teorema catetei = fiecare cateta este medie geometrice intre ipotenuza si proiectia ei pe ipotenuza.

 

Teorema: -        suma masurilor unghiurilor intr-un triunghi = 1800.

-        pentru triunghiul echilateral masura oricarui unghi = 600

-        unghiurile ascutite ale unui triunghi dreptunghic isoscel =450

-        daca masura unui unghi intr-un triunghi isocel este de 600 atunci triunghiul este echilateral.

-        unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente si  ascutite

-        intr-un triunghi isoscel inaltimea din varf este mediana,bisectoare,mediatoare si axa de simetrie.

-        intr-un triunghi echilateral orice inaltime este mediana,bisectoare,mediatoare si axa de simetrie.

-        intr-un triunghi dreptunghic care are un unghi de 300,cateta opusa acestui unghi este jumatate din ipotenuza.

-         mediana din varful unghiului drept al unui triunghi dreptunghic este jumatate din ipotenuza.

-         intr-un triunghi dreptunghic ,inaltimea este media proportionala intre segmentele determinate de ea pe ipotenuza.

Congruenta triunghiurilor oarecare:

                  -         LUL= doua triunghiuri care au 2 laturi si unghiul dintre ele congruente sunt congruente.

                  -        ULU = doua triunghiuri care au o latura si unghiurile alaturate ei congruente sunt congruente.

                  -        LLL = daca doua triunghiuri au laturile congruente ele sunt congruente.

Congruenta triunghiurilor dreptunghice - doua triunghiuri dreptunghice sunt congruente daca :

                  -        CC = au catetele congruente.

                  -        CU = au cate o cateta si cate un unghi ascutit congruente.

                  -        IU = au ipotenuza si cate un unghi ascutit congruente.

                  -        IC = au ipotenuza si cate o cateta congruente.