Determinantul unei matrice:

Determinantului de ordin n4

Fie = o matrice pătratică. Vom asocia acestei matrici un număr notat det(A) numit determinantul matricii .

         Dacă = este o matrice pătratică de ordinul întâi, atunci det() =.

Determinantul matricii    este numarul     el se numeşte determinant de ordin 2.

 Termenii ,  se numesc termenii dezvoltării determinantului de ordin 2.

         Determinantul matricii   este numarul        El se calculeaza astfel:

şi se numeşte determinant de ordin 3. Termenii care apar în formulă se numesc termenii dezvoltării determinantului.

Pentru calculul determinantului de ordin trei se utilizează :

Regula lui Sarrus

 Fie determinantul de ordin 3,  Pentru a calcula un astfel de determinant se utilizează tabelul de mai jos.

                         - se completeaza sub determinant cu primele două linii

                            - se face produsul elementelor de pe diagonale.

                                      Produsul elementelor de pe diagonala descendentă este cu semnul plus. 

.

                                      Produsul elementelor de pe o diagonală ascendentă este cu semnul minus. 

.

                  Suma celor şase produse dă valoarea determinantului d de ordin 3. Acest procedeu de calcul se numeşte regula lui Sarrus.

Regula triunghiului

Am văzut că determinantul de ordin trei are în dezvoltarea sa şase termeni, trei cu semnul plus şi alţi trei cu semnul minus.

         Primul termen cu plus se găseşte înmulţind elementele de pe diagonala principală, iar ceilalţi doi, înmulţind elementele situate în vârfurile celor două triunghiuri care au o latură paralelă cu cu diagonala principală. După aceeaşi regulă, referitoare la diagonala secundară, se obţin termenii cu minus. Atât  regula lui Sarrus cât şi  regula triunghiului se aplică numai determinanţilor de ordin 3.

 Exemplu : Să se calculeze prin cele două metode de mai sus determinantul :

Regula lui Sarrus.

Regula triunghiului

Determinantul de ordin n

         Se defineste în continuare determinantul de ordin n prin recurenţă cu ajutorul determinanţilor de ordin n – 1. Pentru aceasta sunt necesare unele precizări.

                  Fie A=.

         Se numeşte minor asociat elementului  determinantul matricii pătratice de ordin n – 1 obţinut prin suprimarea liniei şi coloaneidin matricea. Se notează acest minor prin  sau .

         Se numeşte complement algebric al elementului  numărul . Exponentul al lui (–1) este suma dintre numărul liniei  şi coloanei pe care se află .

 Determinantul matricii A=de ordin n este suma produselor elementelor din prima linie cu complemenţii lor algebrici adică :

.

          Elementelor, liniilor şi coloanelor matricii A le vom spune de asemenea elementele, liniile şi coloanele determinantului

.

Formula din definiţie spunem că reprezintă dezvoltarea determinantului de ordin n după elementele primei linii.

Exemplu : Să se calculeze determinantul de ordin 4:

 Aplicăm definiţia dată mai sus pentru n = 4 şi dezvoltăm determinantul după elementele liniei întâi. Avem:

Determinanţii de ordin 3 se calculeaza prin una din metodele prezentate la determinanţii de ordin 3.

Proprietăţile determinanţilor

-Determinantul unei matrici coincide cu determinantul matricii transpuse, adică dacă , atunci  .

      transpusa matricei A este .

Atunci , iar . Prin urmare .

         -Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice sunt nule, atunci determinantul matricii este nul.

    det =          det .

-Dacă într-o matrice schimbăm două linii (sau două coloane) între ele obţinem o matrice care are determinantul egal cu opusul

determinantului matricei iniţiale.

Prin schimbarea liniilor se arata că exista egalitatea .

.

-Dacă o matrice are două linii (sau coloane) identice, atunci determinantul său este nul.

                                  det = .

-Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) ale unei matrici sunt înmulţite cu un număr , obţinem o matrice al cărei determinant este

         egal  cu  înmulţit cu determinantul matricei iniţiale.

.

-Dacă elementele a două linii (sau coloane) ale unei matrice sunt proporţionale, atunci determinantul este nul.

.